20.已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點.
(1)如圖,若E、F分別是AB、AC上的點,且BE=AF.求證:△DEF為等腰直角三角形;
(2)若E,F(xiàn)分別為AB,CA延長線上的點,仍有BE=AF,其他條件不變,那么△DEF是否仍為等腰直角三角形?證明你的結論.

分析 1)題要通過構建全等三角形來求解.連接AD,可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結論.
(2)與(1)題的思路和解法一樣.

解答 解:(1)證明:連接AD
∵AB=AC,∠A=90°,D為BC中點
∴AD=$\frac{BC}{2}$=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠B=∠DAF=45°}\\{BE=AF}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△ADF(SAS)
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即:∠EDF=90°
∴△EDF為等腰直角三角形.

(2)解:仍為等腰直角三角形.
理由:∵△AFD≌△BED
∴DF=DE,∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即:∠EDF=90°
∴△EDF為等腰直角三角形.

點評 本題綜合考查了等腰三角形的性質及判定、全等三角形的判定和性質等知識,難度較大.

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