Question

【題目】如圖，為的直徑，，是的兩條弦，過點作，交的延長線與點.

（1）求證：是的切線；

（2）若，求的值；

（3）在（2）的條件下，若，，求與的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連接OC，由∠A=∠1=∠2且∠2+∠OCB=90°知∠1+∠OCB=90°，據此即可得證；

（2）先△ADC∽△CDB得，且CD2=ADBD，設CD=4x，CA=4k，知AB=5k，從而得出（4x）2=3x（3x+5k），解關于x的方程，進而得出答案；

（3）由（2）得AB=7、BD=9、CD=12，證DE是∠ADC的平分線知，求出AC=，EC=證得∠A+∠EDA=∠DEC=45°，作DH⊥AC，知△CDH為等腰直角三角形，由BC∥DH知∠CDH=∠1，據此得tan∠CDH==，繼而得DH=CD=，由DE=即可解答.

解：（1）如圖:

∵OA=OC，

∴∠A=∠2，

∵∠A=∠1，

∴∠1=∠2，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，即∠2+∠OCB=90°，

∴∠1+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2），

∴，又∵，

∴，

∴，設，

則，則，

解得：，，

∴

（3）由（2）知AB=5k=7知k=，則BD=9，CD=4x=4×k=4××=12，

∵∠CED=∠A+∠EDC=∠A+∠ADE，

∴∠EDC=∠ADE，即DE是∠ADC的平分線，

∴，

則，

∴

∵，，

且，

∴，

過點作交延長線于點，則為等腰直角三角形，

，

∴，，

∴