Question

【題目】如圖，半徑為3的⊙O經過等邊△ABO的頂點A、B，點P為半徑OB上的動點，連接AP，過點P作PC⊥AP交⊙O于點C，當∠ACP=30°時，AP的長為（　�。�

A. 3B. 3或C. D. 3或

Answer 1

【答案】B

【解析】

分三種情況討論：①當P在線段OB上，不含端點時；②當點P與點B重合時；③當P與O重合時．分別畫出圖形，計算即可．

分三種情況討論：①當P在線段OB上，不含端點時，如圖1．

∵△OAB是等邊三角形，OB為半徑，PC⊥AP，∴C為直線OB與⊙O的另一個交點，∴CB為⊙O的直徑，∴CB=6．

∵OA=AB，AP⊥OB，∴OP=PB=OB=1.5，∴CP=CO+OP=3+1.5=4.5．

∵∠ACP=30°，∴PC=AP，∴AP=．

②當點P與點B重合時，如圖2，則∠APC=∠ABC=90°，∴AC為直徑．

∵∠ACP=30°，∴∠AOB=60°，符合已知條件，∴AP=AB=3．

③當P與O重合時，如圖3．

∵AP⊥CP，∴∠CPA=∠COA=90°．

∵CO=AO=CP=AP，∴△APC是等腰直角三角形，∴∠ACP=45°，與已知∠ACP=30°矛盾，∴這種情況不成立．

綜上所述：AP=3或．

故選B．