Question

【題目】如圖，正方形的頂點分別在軸和軸上，邊的中點在軸上，若反比例函數的圖象恰好經過的中點，則的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點E作EG⊥x軸于G，設點E的坐標為（），根據正方形的性質和“一線三等角”證出△CEG≌△FCO，可得EG=CO=，CG=FO=OG－OC=，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，從而求出OF和OC，根據勾股定理和正方形的性質即可求出CF、BF、AB、AF，從而求出OA.

解：過點E作EG⊥x軸于G，如下圖所示

∵反比例函數的圖象過點，設點E的坐標為（）

∴OG=x，EG=

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°

∵點E、F分別是CD、BC的中點

∴EC=CD=BC=CF

∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，

∴∠CEG=∠FCO

在△CEG和△FCO中

∴△CEG≌△FCO

∴EG=CO=，CG=FO=OG－OC=

∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF

∴∠BAF=∠FCO

在Rt△BAF中，tan∠BAF=

∴tan∠FCO=tan∠BAF=

在Rt△FCO中，tan∠FCO=

解得：

則OF==，OC=

根據勾股定理可得：CF=

∴BF=CF=，AB=BC=2 CF=，

根據勾股定理可得：AF=

∴OA=OF＋AF=

故答案為：.