Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線交x軸于C，且面積為10.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式；

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)G為y軸上一動點(diǎn)，連接FG，以FG為邊向FG右側(cè)作正方形FGQP，在G點(diǎn)的運(yùn)動過程中，當(dāng)頂點(diǎn)Q落在直線BC上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若M為線段BC上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)E為直線AM上一動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C(3,0)；y=；（2）G點(diǎn)坐標(biāo)為G(0,),G(0,)；（3）D點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)或 (,0) 或(,0)

【解析】

（1）利用三角形面積公式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）分兩種情況：①當(dāng)n＞2時(shí)，如圖2-1中，點(diǎn)Q落在BC上，過G點(diǎn)作直線平行于x軸，過點(diǎn)F、Q作該直線的垂線，垂足分別為M、N，求出Q(n-2，n-1).②當(dāng)n＜2時(shí)，如圖2-2，同理可得Q(2-n，n+1)，利用待定系數(shù)法求解即可；

（3）利用三角形面積公式求出M坐標(biāo)，從而求出直線AM的解析式，作BE∥OC交AM于E，當(dāng)CD=BE時(shí)可得四邊形BCDE，四邊形BECD1是平行四邊形，然后進(jìn)一步得出各點(diǎn)坐標(biāo).

（1）∵直線y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴A(-2,0)，B(0,4)，

∴OA=2，OB=4，

∵S△ABC=ACOB=10，

∴AC=5，

∴OC=3，

∴C(3,0)，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，

則：3k+b=0，b=4，

∴k=，

∴直線BC解析式為y=；

（2）∵FA=FB，A(-2,0)，B(0,4)，

∴F(-1,2)，設(shè)G(0,n)，

當(dāng)n＞2時(shí)，如圖2-1所示，點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，過G作直線平行于x軸，過點(diǎn)F、Q作該直線的垂線，垂足分別為M、N，

∵四邊形FGQP是正方形，

∴△FMG≌△GNQ，

∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，

∴Q(n-2，n-1)，

∵Q點(diǎn)在直線y=上，

∴n-1=，

∴n=，

∴G(0,),

當(dāng)n＜2時(shí)，如圖2-2，同理可得：Q(2-n，n+1)，

∵Q點(diǎn)在直線y=上，

∴n+1=，

∴n=，

∴G(0,),

綜上所述，G點(diǎn)坐標(biāo)為G(0,),G(0,)；

（3）如圖3，設(shè)M(m,)，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴M(,)，

∴直線AM的解析式為，

作BE∥OC交直線AM與E，此時(shí)E(,4)，

當(dāng)CD=BE時(shí)，四邊形BCDE，四邊形BECD1是平行四邊形，

可得：D(,0)，D1(,0)，

根據(jù)對稱性可得D關(guān)于A的對稱點(diǎn)D2(,0)也符合條件，

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：(,0)或 (,0) 或(,0)