Question

【題目】如圖，直角△ABC中，∠A為直角，AB＝6，AC＝8．點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、CA邊上同時(shí)開(kāi)始作勻速運(yùn)動(dòng)，2秒后三個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R由點(diǎn)C出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，用t（秒）（0≤t≤2）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APR的面積為4；

（2）求出△CRQ的最大面積；

（3）是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）或秒；（2）當(dāng)t＝1時(shí)，S△CQR最大＝6；（3）t的值為1秒或秒．

【解析】

（1）由運(yùn)動(dòng)得出AP＝3t，AR＝8﹣4t，最后用三角形面積公式建立方程求解即可得出結(jié)論；

（2）先構(gòu)造出直角三角形表示出QD，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△BFP∽△BAC，得出FP＝（6﹣3t），BF＝（6﹣3t），進(jìn)而FQ＝BQ﹣BF＝5t﹣（6﹣3t）＝

同理：EQ＝，RE＝，再判斷出△REQ∽△QFP．得出，用RE×FP＝QF×EQ建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）由運(yùn)動(dòng)知，AP＝3t，CR＝4t，

∴AR＝8﹣4t，

∴S△APR＝APAR＝×3t×（8﹣4t）＝12t﹣6t2＝4，

解得t＝或t＝

∴當(dāng)t為或秒時(shí)，△APR的面積為4；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AC于D，

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根據(jù)勾股定理得，BC＝10，

∴sinC＝，

由運(yùn)動(dòng)知，BQ＝5t，CR＝4t，

∴CQ＝BC﹣BQ＝10﹣5t，

∴在Rt△CDQ中，QD＝CQsinC＝（10﹣5t）＝6﹣3t，

∴S△CQR＝CRQD＝×4t×（6﹣3t）＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，

∵0≤t≤2，

∴當(dāng)t＝1時(shí)，S△CQR最大＝6；

（3）存在，如圖2，過(guò)點(diǎn)R作RE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，

由題意知，CR＝4t，BQ＝5t，AP＝3t，

∴BP＝6﹣3t，

∵∠BFP＝∠A＝90°，∠B＝∠B，

∴△BFP∽△BAC，

∴，

∴，

∴FP＝（6﹣3t），BF＝（6﹣3t），

∴FQ＝BQ﹣BF＝5t﹣（6﹣3t）＝

同理：EQ＝，RE＝，

∵∠REQ＝∠QFP＝90°，

∴∠ERQ+∠EQR＝90°，

∵∠PQR＝90°，

∴∠EQR+∠PQF＝90°，

∴∠ERQ＝∠PQF，

∴△REQ∽△QFP．

∴，

∴RE×FP＝QF×EQ，

∴×（6﹣3t）＝×，

解得，t＝1或t＝

∴t的值為1秒或秒．