Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，3），B（1，0），連接BA，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，反比例函數(shù)y＝的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值；

（2）若點(diǎn)P在圖象G上，且∠POB＝∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若Q（0，m）為y軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線與圖象G交于點(diǎn)M，與直線OP交于點(diǎn)N，若點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)（4，1），k的值是4； (2) P（2，）；(3)

【解析】

（1）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥x軸于H，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，再證明△ABO≌△BCH得到CH=OB=1，BH=OA=3，則C（4，1），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=(x＞0)中可計(jì)算出k的值；
（2）畫(huà)出過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)y=(x＞0)的草圖，結(jié)合條件點(diǎn)P在圖象G上，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由Q（0，m），得到OQ=m，得到M（，m），N（3m，m），根據(jù)點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，列不等式即可得到結(jié)論．

解：(1) 過(guò)C點(diǎn)作CH⊥x軸于H，如圖，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△ABO和△BCH中

∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴C（4，1），
∵點(diǎn)C落在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，
∴k=4×1=4；

故答案為：點(diǎn)C的坐標(biāo)（4，1），k的值是4

(2)過(guò)O作OP∥BC交于點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥x軸于E，
∵∠POE=∠OAB，∠AOB=∠PEO，

∴△OAB∽△OHP，
∴PE：OE=OB：OA=1：3，∵點(diǎn)P在 上

∴

∴P（2，）

(3) ，理由：

∵Q（0，m），

∴OQ=m，
∵QM∥x軸，與圖象G交于點(diǎn)M，與直線OP交于點(diǎn)N，
∴M（，m），N（3m，m），
∵點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，
∴＜3m，
∵m＞0，
∴m＞．