Question

【題目】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、1，與y軸交于點(diǎn)C，下面四個(gè)結(jié)論：

①16a+4b+c＞0：

②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；

③c＝3a；

④若△ABC是等腰三角形，則b＝﹣或﹣．

其中正確的有_____．（請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)全部填在橫線上）

Answer 1

【答案】①④．

【解析】

①根據(jù)拋物線開口方向和與x軸的兩交點(diǎn)可知：當(dāng)x=-4時(shí)，y＜0，即16a-4b+c＜0；②根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-3，1確定對(duì)稱軸是：x=-1，可得：（﹣4.5，y3）與Q（，y2）是對(duì)稱點(diǎn)，所以y1＜y2；③根據(jù)對(duì)稱軸和x=1時(shí)，y=0可得結(jié)論；④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先計(jì)算c的值，再聯(lián)立方程組可得結(jié)論．

解：①∵a＜0，

∴拋物線開口向下，

∵圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，

∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＜0，

即16a﹣4b+c＜0；

故①正確，符合題意；

②∵圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，

∴拋物線的對(duì)稱軸是：x＝﹣1，

∵P（﹣5，y1），Q（，y2），

﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，

由對(duì)稱性得：（﹣4.5，y3）與Q（，y2）是對(duì)稱點(diǎn)，

∴則y1＜y2；

故②不正確，不符合題意；

③∵﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即a+b+c＝0，

∴3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

當(dāng)AB＝BC＝4時(shí)，

∵BO＝1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，

∴c＝ ，

與b＝2a、a+b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得b＝﹣；

同理當(dāng)AB＝AC＝4時(shí)，

∵AO＝3，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，

∴c＝，

與b＝2a、a+b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得b＝﹣；

同理當(dāng)AC＝BC時(shí)，

在△AOC中，AC2＝9+c2，

在△BOC中，BC2＝c2+1，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程無實(shí)數(shù)解．

經(jīng)解方程組可知有兩個(gè)b值滿足條件．

故④正確，符合題意．

綜上所述，正確的結(jié)論是①④．

故答案是：①④．