Question

【題目】如圖1，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

求拋物線的解析式；

已知點(diǎn)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

如圖2，若拋物線的對(duì)稱軸為拋物線頂點(diǎn)與直線BC相交于點(diǎn)F，M為直線BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作交拋物線于點(diǎn)N，以E，F，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)N坐標(biāo)為或或

【解析】

根據(jù)拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值，得出解析式；

把點(diǎn)D坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出m的值，然后得出是等腰直角三角形，然后依據(jù)平行的性質(zhì)得出答案；

首先求出EF的長，設(shè)，則，利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

由題意，將、兩點(diǎn)代入拋物線解析式，

得，

解得，

拋物線的解析式：；

點(diǎn)在第一象限的拋物線上，

把D的坐標(biāo)代入中的解析式得，

或舍，

，

，

，令，

解得或，

，

，

是等腰直角三角形，

，

設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，

，

，且，

，

點(diǎn)在y軸上，且，

，

，

即點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；

存在；

∵拋物線，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

把，代入解析式得，

解得，b=4，k=-1，

所以，直線BC的解析式為；

當(dāng)時(shí)，，

∴，

，

如圖2，過點(diǎn)M作，交直線BC于M，

設(shè)，則，

，

當(dāng)EF與NM平行且相等時(shí)，四邊形EFMN是平行四邊形，

，

由時(shí)，解得，不合題意，舍去

當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，解得，

當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，，

，

綜上所述，點(diǎn)N坐標(biāo)為或或