Question

【題目】《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)展示：

（問(wèn)題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線G1：與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，則a= ，b= ．

（操作）將圖1中拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2，G2在y軸左側(cè)的部分與G1在y軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為G，如圖②．請(qǐng)直接寫(xiě)出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．

（探究）在圖2中，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，與圖象G交于D，E兩點(diǎn)．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍．

（應(yīng)用）P是拋物線G2對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDE是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】問(wèn)題：，1；操作：；探究：-4＜x＜-2或0＜x＜1；應(yīng)用：（-2，+）或（-2，-）.

【解析】

問(wèn)題：利用待定系數(shù)法將A和B的坐標(biāo)代入，求出a和b的值即可；

操作：根據(jù)題意求出平移后的拋物線G2的表達(dá)式，結(jié)合G1的表達(dá)式即可得出結(jié)果；

探究：畫(huà)出圖像，求出兩部分的拋物線的對(duì)稱軸，以及D和E的坐標(biāo)，結(jié)合開(kāi)口方向，可得x的取值范圍；

應(yīng)用：由題意判斷出∠DPE=90°，在△DPE中利用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)P坐標(biāo).

解：?jiǎn)栴}：∵拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

故答案為：，1；

操作：∵拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2，

B（3,0），C（0，），，

∴平移后的拋物線G2的表達(dá)式為，

∵G2在y軸左側(cè)的部分與G1在y軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為G，

∴圖像G的解析式為；

探究：由題意可得：當(dāng)x≥0時(shí)，，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=1，

令y=0，解得：x1=0，x2=2，

∴E（2，），

∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y隨x增大而增大；

當(dāng)x＜0時(shí)，，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=-2，

令y=0，解得：x1=-4，x2=0，

∴點(diǎn)D（-4，），

∴當(dāng)-4＜x＜-2時(shí)，y隨x增大而增大；

綜上：圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時(shí)，

x的取值范圍是當(dāng)-4＜x＜-2或0＜x＜1；

應(yīng)用：∵△PDE是直角三角形，P是拋物線G2對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴只存在∠DPE=90°，

由題意得：D（-4，），E（2，），

當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方時(shí)，如圖，設(shè)直線l與G2的對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，

可得Q（-2，），

∴DQ=2，QE=4，DE=6，PQ⊥DE，

設(shè)PQ=m，在△PDQ和△PEQ中，

PQ2+DQ2=PD2，PQ2+QE2=PE2，

即，，

在△PDE中，PD2+PE2=DE2，

即，

解得：m=或m=（舍），

∴m+=+，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，+），

當(dāng)點(diǎn)P在直線l下方時(shí)，同理PQ=，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-），

綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，+）或（-2，-）.