Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．

（1）D是BC的中點(diǎn)；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）若 ，求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90° 即AD是底邊BC上的高．

又∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中點(diǎn)

（2）證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對(duì)的圓周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；

（3）證明：由△BEC∽△ADC得： ， 即CD·BC=AC·CE．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴CD= BC．
又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= BC ·BC=AB·CE 即BC =2AB·CE=12
∴AB=6
∴⊙O的半徑為3

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，證出AD是底邊BC上的高．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出結(jié)論。
（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出∠CBE=∠CAD，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似。
（3）由△BEC∽△ADC得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出圓的半徑。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半才能正確解答此題．