Question

【題目】在中，分別是邊上的點(diǎn)，和交于點(diǎn)，且.

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn) ，求證；

（3）如圖，在（2）的條件下，，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，，由且是公共角即可證明（2）根據(jù)銳角互余的關(guān)系可得，根據(jù)及外角性質(zhì)可得∠CAB=∠CGA，進(jìn)而可得AC=CG；（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得進(jìn)而可得AG=2MC，由∠HAB=90°，∠CAB=45°可得平分，由可得CM=CN，根據(jù)四邊形內(nèi)角和及平角的定義可得，利用AAS可證明△HNC≌△CMD，即可證明CD=CH，根據(jù)已知即可證明AE=HE，根據(jù)（1）得，由可得∠AEC=∠H，可得AE=AH，進(jìn)而可得，在中，可得∠B=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可知，根據(jù)面積公式可得，即可求出CM的值，進(jìn)而根據(jù)可得BC的長(zhǎng).

（1）在中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，

在中，

且是公共角

∴∠CEF=∠CDB

即

（2），

∴∠DCB=∠ACG=90°，

∴

即

∵∠ACD+∠B=∠CAB，

∴∠GCB+∠B=∠CAB，

∵∠CGA=∠GCB+∠B，

∴∠CAB=∠CGA，

∴AC=GC

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)

且

∴∠CAG=∠CGA=45°，，

∴，

∴

∴

∵

∴，

∵∠CAG=45°，

∴∠CAH=∠CAG，

平分，

∵，

∴，

∵，

∴，

在四邊形中，，

∴，

∵，

∴，

又，，，

∴，

∴AE=AH，

∵，CM=CN，∠HNC=∠CMD，

∴△HNC≌△CMD，

∴CD=CH，

∵CE+CD=AE，

∴CE+CH=AE=EH

∴AE=EH=HA，

∴∠H=60°，

在中，

∴∠B=30°，

在中，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.