Question

如圖，已知凸四邊形ABCD的兩對角線BD與AC之比為k，菱形EFGH各頂點位于四邊形ABCD的順次四邊之上，且EF∥AC，F(xiàn)G∥BD，則四邊形ABCD與菱形EFGH的面積之比為

 

．

Answer 1

分析：設

AE

AB

=a，由平行線分線段成比例得出

BE

AB

、

EH

BD

、EH=a•BD，EF=（1-a）•AC，根據(jù)EF=EH得到

BD

AC

的值，即求出a=

1

k+1

，再代入面積公式代入即可求出四邊形ABCD與菱形EFGH的面積之比．

解答：解：設

AE

AB

=a，則

BE

AB

=1-a，

EH

BD

=a，EH=a•BD，
同理：EF=（1-a）•AC，
∵菱形EFGH，
∴EF=EH，
∴a•BD=（I-a）•AC，
∴

BD

AC

=

1-a

a

，
∵

BD

AC

=k，
∴a=

1

k+1

，
由面積公式得：

S四邊形ABCD

S菱形EFGH

=

1 2 AC•BD•sina

EF•EH•sina

，
=

AC•BD

2EF•EH

，
=

1

2

•

1

1-a

•

1

a

，
=

1

2

•

1

1- 1 k+1

•（k+1），
=

(k+1)2

2k

．
故答案為：

(k+1)2

2k

．

點評：本題主要考查了面積與等積變換，平行線分線段成比例等知識點，解此題的關鍵是求出

AC

EF

和

BD

EH

的值．題型很好，但難度較大．