Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋6的圖像開口向下，與x軸交于點(diǎn)A（－6，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該函數(shù)圖像上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）

（1） 求二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）如圖1當(dāng)點(diǎn)P是該函數(shù)圖像上一個動點(diǎn)且在線段的上方，若△PCA的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，在該函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn)E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）（﹣2，8）或（﹣4，6）；（3） 或.

【解析】

（1）由題意設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：結(jié)合已知函數(shù)解析式即可求解；

（2）由點(diǎn)P在線段的上方，設(shè)連接 ，從而可得答案；

（3）證明為直角三角形，延長DC至D′使CD=CD′，連接AD′，過點(diǎn)D作DH⊥AD′，計算sin∠DAC ，sin2∠DAC=sin∠DAD′得到sin∠EAB，tan∠EAB ，利用一次函數(shù)的性質(zhì)得一次函數(shù)是解析式，聯(lián)立解析式解方程組即可求解．

解：（1） 拋物線與x軸交于點(diǎn)A（－6，0）和點(diǎn)B（2，0），

設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：

二次函數(shù)

解得：

函數(shù)的表達(dá)式為：．

（2）如圖1所示，在的上方，

連接

設(shè)

把代入，

解得：

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為或

（3） 拋物線為：，為頂點(diǎn)，

則

延長DC至D′使CD=CD′，連接AD′，

過點(diǎn)D作DH⊥AD′， 則

即：

解得：

∠EAB＝2∠DAC，

①當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時， 則直線AE的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式：

直線AE的表達(dá)式為：

解得： 或 （舍去）

即點(diǎn)

②當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時，

設(shè)直線為：

將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式：

直線為：

解得： 或 （舍去）

綜上，點(diǎn)或