Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，連結OA，二次函數(shù)y=x2圖象從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．

（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設二次函數(shù)頂點M的橫坐標為m，當m為何值時，線段PB最短，并求出二次函數(shù)的表達式；
（3）當線段PB最短時，二次函數(shù)的圖象是否過點Q（a，a﹣1），并說理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線OA的解析式為y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，解得k=2，

∴線段OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x；

（2）解：∵頂點M的橫坐標為m，且在OA上移動，

∴y=2m（0≤m≤2），

∴M（m，2m），

∴拋物線的解析式為y=（x﹣m）2+2m，

∴當x=2時，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2），

∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），

∴當m=1時，PB最短，

當PB最短時，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2；

（3）解：若二次函數(shù)的圖象是過點Q（a，a﹣1）

則方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．

即方程a2﹣3a+4=0有解，

∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．

∴二次函數(shù)的圖象不過點Q．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法，由點A的坐標，即可求出直線OA的函數(shù)解析式。
（2）抓住已知二次函數(shù)y=x2圖象從點O沿OA方向平移，頂點M在此直線上，即可用含m的代數(shù)式表示出頂點M的坐標，可用頂點式來設二次函數(shù)的解析式，再將x=2代入拋物線的解析式中，即可求出點P的縱坐標即PB的表達式，求出其頂點坐標來求出PB最短時的m值。
（3）將點Q的坐標代入y=（x﹣1）2+2，再判斷此方程是否有解，即可作出判斷。
【考點精析】本題主要考查了正比例函數(shù)的圖象和性質和確定一次函數(shù)的表達式的相關知識點，需要掌握正比函數(shù)圖直線，經(jīng)過一定過原點．K正一三負二四，變化趨勢記心間．K正左低右邊高，同大同小向爬山．K負左高右邊低，一大另小下山巒；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題．