Question

一塊三角形廢料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用這塊廢料剪出一個平行四邊形AGEF，其中，點G，E，F分別在AB，BC，AC上．設CE=x
（1）求x=2時，平行四邊形AGEF的面積．
（2）當x為何值時，平行四邊形AGEF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：設平行四邊形AGEF的面積是S．利用平行四邊形AGEF的對邊互相平行知EF∥AG，所以同位角∠A=∠CFE=30°；然后在直角三角形ABC和直角三角形BEF中利用銳角三角函數的定義求得CF、AC的長度，從而求得平行四邊形AGEF的底邊AF=AC-CF；最后根據平行四邊形的面積公式S=底×高得出關于S與x的函數關系式S=-

3

x²+6

3

x；
（1）將x=2代入S與x的函數關系式S=-

3

x²+6

3

x，并求解即可；
（2）利用配方法求二次函數的最值．

解答：解：設平行四邊形AGEF的面積是S．
∵四邊形AGEF是平行四邊形，
∴EF∥AG；
∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，
∴∠A=∠CFE=30°，
∴CF=

3

x，AC=6

3

，
∴AF=6

3

-

3

x；
∴S=AF•CE=（6

3

-

3

x）x=-

3

x²+6

3

x，即S=-

3

x²+6

3

x；
（1）當x=2時，S=-4

3

+12

3

=8

3

，即S=8

3

．
答：平行四邊形AGEF的面積為8

3

（平方單位）…4分
（2）由S=-

3

x²+6

3

x，得
S=-

3

x2+6

3

x，
∴S=-

3

(x-3)2+9

3

，
∴當x=3時，平行四邊形AGEF的面積最大，最大面積是9

3

（平方單位）…9分．

點評：本題考查了平行四邊形的性質、二次函數的最值．解答本題的關鍵是求出平行四邊形AGEF的底邊AF、底邊上的高線CE的長度．