Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線(xiàn)AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線(xiàn)PD交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，求⊙P的半徑AP的長(zhǎng)；

（2）若AP=2，求CE的長(zhǎng)；

（3）設(shè)線(xiàn)段BE的中點(diǎn)為Q，射線(xiàn)PQ與⊙P相交于點(diǎn)I，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有AP的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）CE=；（3）AP=或AP=

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，由銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠PAF===，再根據(jù)垂徑定理得出AF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上；點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上；點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴tan∠PAF===，

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=2，

∴AF=1，

∴=,解得PF=，

∴AP= ==.

(2)∵AP=DP，

∴∠PAD=∠PDA．

∵∠PDA=∠CDE，

∴∠PAD=∠CDE．

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴△ABC∽△DEC．

∴∠ABC=∠DEC， ．

∴PB=PE．

Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5．

∵AP=2，

∴PB=PE=3，DE=1

∴，CE=．

（3）AP=或AP=．

設(shè)AP=x，

①如果點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖2），

由（2）知，△ABC∽△DEC，

∴

∴，DC=（5-2x）,

當(dāng)DC=PI時(shí)，點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，由DC=PI得，（5-2x）= x，x=；

②如果點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)（如圖3），

DC=（2x -5）, 當(dāng)DC=PI時(shí)，點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，

由DC=PI得，（2x -5）= x，x=，

∵＞5，與點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上矛盾，∴x=舍去．

③如果點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖4），

點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， DC=（2x -5）, 當(dāng)DC=PI時(shí)，點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=．