Question

【題目】如圖所示，AB是直徑，弦BC于點F，且交于點E，且∠AEC=∠ODB.

（1）判斷直線和的位置關系，并給出證明；

（2）當，時，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線和的位置關系是相切．證明見解析；（2）的面積是．

【解析】

（1）直線BD和⊙O的位置關系是相切，理由是由∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，得到∠ABC=∠ODB，求出∠BOD+∠D=90°，推出∠OBD=90°，即可得到

（2）根據(jù)垂徑定理得出BF=CF=BC=4，連接AC，由AB是圓的直徑得到∠ACB=∠DFB=90°，證出△ACB∽△BED，根據(jù)相似三角形的性質得到，求出△ABC的面積，即可求出△DFB的面積．

（1）答：直線BD和⊙O的位置關系是相切，

證明：∵∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，

∴∠ABC=∠ODB，

∵OD⊥弦BC，

∴∠OFB=90°，

∴∠DOB+∠ABC=90°，

∴∠BOD+∠D=90°，

∴∠OBD=180°-90°=90°，

∵OB是半徑，

∴直線BD是圓O的切線，

即直線BD和⊙O的位置關系是相切；

（2）解：∵，是圓的半徑，，

∴，，連接，

∵是圓的直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵的面積是，

∴的面積是，

答：的面積是．