Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6．
（1）實(shí)踐操作：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡． ①作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D．
②作線段BD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DE、DF．
（2）推理計(jì)算：四邊形BFDE的面積為

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，DE、DF為所作；

（2）8
【解析】解：（2）∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，AB=2BC=12，
∵BD為∠ABC的角平分線，
∴∠DBC=∠EBD=30°，
∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，EB=ED，
∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，
∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
而FB=FD，
∴四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ADE中，DE= AE，
而AE=AB﹣BE，
∴12﹣BE= BE，解得BE=8，
在Rt△BDC中，CD= BC=2 ，
∴四邊形BFDE的面積= ×8×2 =8 ．
所以答案是8 ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形，需要了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半才能得出正確答案．