Question

【題目】如圖1，AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P速度相等，當(dāng)t=1，△ACP與△BPQ是否全等？請(qǐng)說明理由，并推導(dǎo)出此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=α°”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ；（2）存在，x＝1，t＝1或t＝2.5，x＝

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；
（2）由△ACP與△BPQ全等，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．

解：（1）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P速度相等，

當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ＝1，BD＝AC＝4，
∵AB＝5，
∴BP＝51＝4＝AC，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP＝BQ，∠A＝∠B，AC＝BP，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°，
∴∠CPQ＝90°，即PC⊥PQ；
（2）存在，

①若△ACP≌△BPQ，
則AC＝BP，AP＝BQ，

∵AP=t，BQ=xt，則BP=5-t，
∴4＝5t，t＝xt，
解得：t＝1，x＝1，
∴存在x＝1，t＝1，使得△ACP與△BPQ全等；
②若△ACP≌△BQP，
則AC＝BQ，AP＝BP，
∴t＝5t，4＝xt，
解得t＝2.5，x＝，
∴存在t＝2.5，x＝，使得△ACP與△BPQ全等；
綜上所述，存在x＝1，t＝1或t＝2.5，x＝，使得△ACP與△BPQ全等．