Question

【題目】【提出問題】

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°。

∴∠BAM=∠CAN。

∵在△BAM和△CAN中，，

∴△BAM≌△CAN（SAS）。∴∠ABC=∠ACN。

（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立。理由如下：

∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°。

∴∠BAM=∠CAN。

∵在△BAM和△CAN中，，

∴△BAM≌△CAN（SAS）。∴∠ABC=∠ACN。

（3）∠ABC=∠ACN。理由如下：

∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN。

∴△ABC∽△AMN。∴。

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.

∴△BAM∽△CAN。∴∠ABC=∠ACN。

（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論。

（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣。

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據∠BAM=∠BAC﹣

∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論。