Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，把拋物線 先向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線 ，所得拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為M.

（1）寫出h、k的值及點A、B的坐標；

（2）判斷 的形狀，并計算其面積；

（3）點P是拋物線上的一動點，在y軸上存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點組成的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1） , ， ， ；（2）是直角三角形，；（3）點P的坐標為(4,5)，(-4,21)或(2,-3)

【解析】

（1）根據(jù)左加右減，上加下減的方法求出函數(shù)解析式為 ，可得h、k的值，解方程可求出點A、B的坐標；

（2）首先求得點C和點M的坐標，然后求得BC、CM及BM的長，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；

（3）分兩AB為邊和AB為對角線兩種情況討論計算即可．

（1）∵拋物線y=x2先向右平移1個單位,再向下平移4個單位,得到拋物線y=(x1)24，

∴h=1，k=4；

令y=0，即(x1)24=0

解得x=1或x=3，

∴A(1，0)，B(3，0)；

（2） 令 ，得 ，

點C的坐標為(0,-3)，點M的坐標為(1,-4)，

， ， ，

，

是直角三角形，

；

（3）由（1）知，拋物線 ，

點P是拋物線上一動點， 設 ,

, ， ，AB的中點N(1,0)，

以點A、B、P、Q為頂點組成的四邊形是平行四邊形，

分以下情況.

①當AB為邊時， ， ，

或-4，當時， ，

；

當 時， ，

；

②當AB為對角線時，點N是PQ的中點，

, ， ，

點P的坐標為(4,5)，(-4,21)或(2,-3).