Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊在直線左下方作菱形，且點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，以，為鄰邊構(gòu)造矩形，交軸的正半軸于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，

①求的長(zhǎng)，

②在菱形的邊上取一點(diǎn)，在矩形的邊上取一點(diǎn)，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）連結(jié)，記的面積為，的面積為，若，求的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)和軸對(duì)稱性質(zhì)可得，；

（2）①求出OA,OB，由勾股定理求出OG,可得AG;②根據(jù)菱形性質(zhì)，分4種情況當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，顯然滿足條件，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，顯然滿足條件，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在上，在上時(shí)，直線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)，由，可得P的坐標(biāo)；當(dāng)在上，在上時(shí)

由題意得：，求出，結(jié)合，求出PM，可得P的坐標(biāo);

（3）根據(jù)矩形性質(zhì)和軸對(duì)稱性質(zhì)得，故，記為，設(shè)，則，由，可得，求出，可得，由勾股定理可得，，，求出OB,得到B的坐標(biāo)，再代入，可得k.

（1）證明：四邊形是矩形

又由對(duì)稱可得

∴

（2）解：當(dāng)時(shí)，，

，

①設(shè)，則

由勾股定理可得，

解得，

②如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，顯然滿足條件，此時(shí)

如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，顯然滿足條件，此時(shí)

如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，在上時(shí)

點(diǎn)，，，

直線的解析式為

直線的解析式為

設(shè)

則，

解得

點(diǎn)坐標(biāo)為

如圖，當(dāng)在上，在上時(shí)

由題意得：

將代入

得

即

點(diǎn)坐標(biāo)為

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或

（3）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

，記為

設(shè)，則

由，可得

解得

由勾股定理可得，，

代入得