已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,0),若此拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),速度均為每秒1個(gè)單位,設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4)
(1)求此拋物線的解析式并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)(用t表示);
(2)當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)求△OBP的面積;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ為直角三角形?
(4)△OPQ是否可能為等邊三角形?若可能請(qǐng)求出t的值;若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由,并改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度,使△OPQ為等邊三角形,求出此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值.

【答案】分析:(1)將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入該解析式中,即可求得待定系數(shù)的值.求解P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可過(guò)P作y軸的垂線,通過(guò)構(gòu)建的相似三角形求出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).
(2)在(1)中求得P點(diǎn)坐標(biāo),以O(shè)Q為底、P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高求出關(guān)于△OPQ的面積和t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出△OPQ的面積最大值時(shí),對(duì)應(yīng)的t值;由此能得到AP的長(zhǎng),△OPB和△AOB中,若以BP、AB為底,那么它們的高相同,底的比就是面積的比,由此得解.
(3)此題分兩種情況:∠OQP=90°或∠OPQ=90°;第一種情況,PQ∥y軸,利用相應(yīng)的比例線段即可求出t的值;后一種情況可利用勾股定理來(lái)進(jìn)行求解.
(4)若△OPQ為等邊三角形,Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度必須滿足OQ等于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍(P點(diǎn)在線段OQ的中垂線上),然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的t值.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-2-,代入點(diǎn)(1,0),得:a=;
∴y=(x-2-
令y=0得:x1=4,x2=1,∴B(4,0).
令x=0得:y=3,∴A(0,3),AB=5.
如右圖,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,垂足為點(diǎn)M,則:
==,得:==
∴AM=t,PM=t
∴P(t,3-t).

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸,垂足為點(diǎn)N,
S△OPQ=OQ•PN=t•(3-t)=t-t2=-(t-2+
∴當(dāng)t=時(shí),S△OPQ最大=
此時(shí)OP為AB邊上的中線
∴S△OBP=S△AOB=××3×4=3.

(3)若∠OQP=90°,則 =,
=,得t=0(舍去).
若∠OPQ=90°,則OP2+PQ2=OQ2,
∴(3-t)2+(t)2+(3-t)2+(t)2=t2
解得:t1=3,t2=15(舍去).
當(dāng)t=3時(shí),△OPQ為直角三角形.

(4)∵OP2=(3-t)2+(t)2,PQ2=(3-t)2+(t)2;
∴OP≠PQ,
∴△OPQ不可能是等邊三角形.
設(shè)Q點(diǎn)的速度為每秒k個(gè)單位時(shí),△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•t,得 k=
∵PN=OP=t=t
∴3-t=t,得t=
點(diǎn)評(píng):該題的難度較大,綜合了二次函數(shù)、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識(shí).在解答(3)題時(shí),要注意直角三角形的直角并沒(méi)有確定,要分類進(jìn)行討論.
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17、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-2),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3),求此二次函數(shù)的解析式.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是M(1,2),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C精英家教網(wǎng)(0,3),拋物線與直線x=2交于點(diǎn)P,
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)在直線上取點(diǎn)A(2,5),求△PAM的面積;
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QAM的面積與△PAM的面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)若直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)D,探索并判斷四邊形CDAN是怎樣的四邊形?并對(duì)你得到的結(jié)論予以證明;
(3)直線y=mx+2與拋物線交于T,Q兩點(diǎn).是否存在這樣的實(shí)數(shù)m,使以線段TQ為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2012•北塘區(qū)一模)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
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(1)求此拋物線的解析式并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)(用t表示);
(2)當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)求△OBP的面積;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ為直角三角形?
(4)△OPQ是否可能為等邊三角形?若可能請(qǐng)求出t的值;若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由,并改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度,使△OPQ為等邊三角形,求出此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值.

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已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,-1),它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3).
(1)求該拋物線的解析式.
(2)設(shè)該拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),求△ABC的面積.

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