Question

已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)C（1，0），若此拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤4）
（1）求此拋物線的解析式并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）；
（2）當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)求△OBP的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ為直角三角形？
（4）△OPQ是否可能為等邊三角形？若可能請(qǐng)求出t的值；若不可能請(qǐng)說明理由，并改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使△OPQ為等邊三角形，求出此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-）²-，代入點(diǎn)（1，0），得：a=；
∴y=（x-）²-．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右圖，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M，則：
==，得：==
∴AM=t，PM=t
∴P（t，3-t）．

（2）如圖，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，
S_△OPQ=OQ•PN=t•（3-t）=t-t²=-（t-）²+
∴當(dāng)t=時(shí)，S_△OPQ最大=．
此時(shí)OP為AB邊上的中線
∴S_△OBP=S_△AOB=××3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，則 =，
∴=，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，則OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-t）²+（t）²+（3-t）²+（t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
當(dāng)t=3時(shí)，△OPQ為直角三角形．

（4）∵OP²=（3-t）²+（t）²，PQ²=（3-t）²+（t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等邊三角形．
設(shè)Q點(diǎn)的速度為每秒k個(gè)單位時(shí)，△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•t，得 k=
∵PN=OP=•t=t
∴3-t=t，得t=．
分析：（1）將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入該解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．求解P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可過P作y軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形求出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．
（2）在（1）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)，以O(shè)Q為底、P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高求出關(guān)于△OPQ的面積和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出△OPQ的面積最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值；由此能得到AP的長(zhǎng)，△OPB和△AOB中，若以BP、AB為底，那么它們的高相同，底的比就是面積的比，由此得解．
（3）此題分兩種情況：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一種情況，PQ∥y軸，利用相應(yīng)的比例線段即可求出t的值；后一種情況可利用勾股定理來進(jìn)行求解．
（4）若△OPQ為等邊三角形，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度必須滿足OQ等于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍（P點(diǎn)在線段OQ的中垂線上），然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的t值．
點(diǎn)評(píng)：該題的難度較大，綜合了二次函數(shù)、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識(shí)．在解答（3）題時(shí)，要注意直角三角形的直角并沒有確定，要分類進(jìn)行討論．