Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2﹣3ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣4)與x軸交于點(diǎn)A．B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)D是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CD．當(dāng)△CDE的面積最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)Q(2，0)．問：是否存在這樣的直線l，使得△OQF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）；（3），，，

【解析】

（1）把點(diǎn)A、C代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，令y＝0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再表示出BD的長，然后根據(jù)△EBD和△BAC相似，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列式表示出EG，再根據(jù)S△CDE＝S△BCDS△BED列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）分①QO＝QF時，先求出∠OAC＝45°，再根據(jù)等邊對等角可得∠QFA＝45°，然后求出∠AQF＝90°，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P、F的縱坐標(biāo)相同，利用二次函數(shù)解析式求解；②QF＝OF時，過點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得OH＝OQ＝1，再求出HF＝AH，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P、F的縱坐標(biāo)相同，利用二次函數(shù)解析式求解；③OQ＝OF時，先求出點(diǎn)O到AC的距離，根據(jù)垂線段最短判斷出此時不存在直線l，使△OQF為等腰三角形；

解：（1）把點(diǎn)A(4，0)、C(0，﹣4)代入拋物線解析式y=ax2﹣3ax+c(a≠0)得：

，解得a=1，c=-4，

∴y=x2-3x-4

（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，

當(dāng)y=0時，x2-3x-4=0，解得：，

∴B（-1，0），AB=5，

∴BD=m+1，

∵ED∥AC

∴△BDE∽△BAC，

∴，即，

∴，

∵S△CDE＝S△BCDS△BED，

即S△CDE＝，

∵，

∴當(dāng)時，△CDE的面積最大，

∴

（3）存在，

①當(dāng)QO=QF時，

∵A（4,0），Q（2,0）

∴AQ=OQ=QF=2，

∵在RT△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°，

∴∠QFA=∠OAC=45°，

∴∠AQF=90°，

此時F（2，-2）

∵直線l平行于x軸，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，

∴x2-3x-4=-2，解得：，

∴，

②當(dāng)QF=OF時，過點(diǎn)F作FH⊥OA于點(diǎn)H，

由等腰三角形“三線合一”可得：OH=，

∴AH=4-1=3

在等腰直角三角形AFH中，AH=HF=3，

∴點(diǎn)F（1，-3）

∵直線l平行于x軸，

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-3，

∴x2-3x-4=-3，解得：

∴，

③當(dāng)OQ=OF時，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴AC=，

∴點(diǎn)O到AC的距離為，

∵OF=OQ=2，

∴此時，不存在這樣的直線l，使得△OQF是等腰三角形，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，