Question

如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，OA邊在直線上，AB邊在直線上．
（1）直接寫出O、A、B、C的坐標(biāo)；
（2）在OB上有一動(dòng)點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，OP為半徑畫弧MN，分別交邊OA、OC于M、N（M、N可以與A、C重合），作⊙Q與邊AB、BC，弧MN都相切，⊙Q分別與邊AB、BC相切于點(diǎn)D、E，設(shè)⊙Q的半徑為r，OP的長為y，求y與r之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量r的取值范圍；
（3）以O(shè)為圓心、OA為半徑做扇形OAC，請問在菱形OABC中，除去扇形OAC后剩余部分內(nèi)，是否可以截下一個(gè)圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個(gè)圓錐．若可以，求出這個(gè)圓的面積，若不可以，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)榱庑蜲ABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，OA邊在直線上，AB邊在直線上，所以O(shè)（0，0），A是兩直線的交點(diǎn)．將兩直線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解之即可得到A的坐標(biāo)，利用菱形的對稱性即可得到B，C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）因?yàn)椤裃分別與邊AB、BC相切于點(diǎn)D、E，所以可連接QD、QE，則QD⊥AB，QE⊥BC且QD=QE，從而判斷點(diǎn)Q在∠ABC的平分線上．利用菱形的對角線平分一組內(nèi)對角可知點(diǎn)Q在OB上，又因⊙Q與弧MN相切于點(diǎn)P，而在Rt△QDB中，∠QBD=30°，所以QB=2QD=2r，即，整理即可得到所要求的解析式．
（3）因?yàn)橐設(shè)為圓心、OA為半徑做扇形OAC，則弧AC的長為，設(shè)截下的⊙Q符合條件，其半徑為R，則，所以，由（2）知，此時(shí)OA=y=2，則⊙Q的半徑大于R，能截下一個(gè)圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個(gè)圓錐，從而求此圓的面積．
解答：解：（1）O（0，0），，，C（，-1）；（2分）

（2）連接QD、QE，則QD⊥AB，QE⊥BC．
∵QD=QE，
∴點(diǎn)Q在∠ABC的平分線上．
又∵OABC是菱形，
∴點(diǎn)Q在OB上．
∴⊙Q與弧MN相切于點(diǎn)P．
在Rt△QDB中，∠QBD=30°，
∴QB=2QD=2r．
∴，
∴．
∵y＞0，
∴2-3r＞0，
∴r＜，
∵A（，1）
∴AO=2，
∴2-3r≤2，
解得：≤r，
故．

（3）可以．
理由：弧AC的長為．
設(shè)截下的⊙Q符合條件，其半徑為R，則．
∴．
由（2）知，此時(shí)OA=y=2，則⊙Q的半徑R=＞，
∴能截下一個(gè)圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個(gè)圓錐，
此圓的面積為．
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)即可解決問題．