Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F．

（1）求證：FD²=FB•FC；

（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線． 

專題： 綜合題．

分析： （1）要求證：FD²=FB•FC，只要證明△FBD∽△FDC，從而轉(zhuǎn)化為證明∠FDC=∠FBD；

（2）要證DG⊥EF，只要證明∠5+∠1=90°，轉(zhuǎn)化為證明∠3=∠4即可．

解答： （1）證明：∵E是Rt△ACD斜邊中點(diǎn)，

∴DE=EA，

∴∠A=∠2，（1分）

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠A，（2分）

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，

∴∠FDC=∠FBD，

∵∠F是公共角，

∴△FBD∽△FDC．（4分）

∴．

∴FD²=FB•FC．（6分）

 

（2）GD⊥EF．（7分）

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，

∴DG=GC．

∴∠3=∠4．

由（1）得∵△FBD∽△FDC，

∴∠4=∠1，

∴∠3=∠1．（9分）

∵∠3+∠5=90°，

∴∠5+∠1=90°．

∴DG⊥EF．（10分）

點(diǎn)評： 證明線段的積相等可以轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，證明兩直線垂直轉(zhuǎn)化為證明形成的角是直角．