Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從B出發(fā)，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)以1厘米/秒的速度從D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）若a＝2，那么t為何值時(shí)△BPQ與△BDA相似？

（2）已知M為AC上一點(diǎn)，若當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形，求這時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.

（3）在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，要使線段PQ在某一時(shí)刻平分△ABD的面積，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？（提示：對(duì)于一元二次方程，有如下的結(jié)論：若x1x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝）

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，t＝秒或秒時(shí)，△BPQ與△BDA相似;(2)點(diǎn)P的速度是2.5厘米/秒;(3)點(diǎn)P的速度應(yīng)大于或等于厘米/秒.

【解析】

（1）根據(jù)相似的性質(zhì)，分情況討論當(dāng)△BPQ∽△BDA時(shí)及當(dāng)△BQP∽△BDA時(shí)，進(jìn)行列式計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)△BPQ∽△BAC，由相似比即可求出P的速度；

（3）根據(jù)△BEP∽△BDA，進(jìn)而求出和的面積表達(dá)式后即可得解.

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，BP＝2t，DQ＝1×t＝t，

∵D是BC中點(diǎn)，BC＝12，

∴BD＝DC＝6，

∴；

①當(dāng)△BPQ∽△BDA時(shí)，如圖1，

則有，

∵BP＝2t，BD＝6，，BA＝10，

∴，

解得：；

②當(dāng)△BQP∽△BDA時(shí)，如圖2，

則有，

∵BP＝2t，BD＝6，，BA＝10，

∴，

解得：；

∴當(dāng)a＝2時(shí)，秒或秒時(shí)，△BPQ與△BDA相似；

（2）當(dāng)t＝且四邊形PQCM是平行四邊形時(shí)，如圖3，

則有PQ∥AC，BP＝a，DQ＝1×＝，BQ＝，

∵PQ∥AC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∵BP＝a，BA＝10，BQ＝，BC＝12，

∴，

解得：a＝2.5，

∴點(diǎn)P的速度是2.5厘米/秒；

（3）作PE⊥BC，垂足為E，如圖4，

∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝8，

∵PE⊥BC，AD⊥BC，

∴△BEP∽△BDA，

∴，

∵AD＝8，BP＝at，BA＝10，

∴，

∴，

∴，

∵線段PQ平分△ABD的面積，

∴，

∴，

整理得：，

由題可得：，

解得：，

此時(shí)，

∴方程有兩個(gè)小于6的正實(shí)根，

∴點(diǎn)P的速度應(yīng)大于或等于厘米/秒.