Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正確的個(gè)數(shù)為(　　)

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

設(shè)CF=x，則CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，進(jìn)而可以證明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．進(jìn)而可以證明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，從而得到結(jié)論．

∵在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F是CD上一點(diǎn)，且CF=CD，設(shè)CF=x，則CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF，

∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，∴②③正確．

故選B．