Question

把一張邊長為40 cm的正方形硬紙板，進行適當的裁剪，折成一個長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．

（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子．

①要使折成的長方體盒子的底面積為484 cm²，那么剪掉的正方形的邊長為多少？

②折成的長方體盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．

（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方體盒子．若折成的一個長方體盒子的表面積為550 cm²，求此時長方體盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）．

Answer 1

（1）剪掉的正方形的邊長為9 cm；

（2）當剪掉的正方形的邊長為10 cm時，長方體盒子的側面積最大為800 cm²．

（3）此時長方體盒子的長為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm．

【解析】

解：（1）①設剪掉的正方形的邊長為x cm，

則（40－2x）²＝484，

即40－2x＝±22，解得x₁＝31（不合題意，舍去），x₂＝9．

②側面積有最大值．

設剪掉的正方形的邊長為x cm，盒子的側面積為y cm²，

則y與x的函數關系式為y＝4（40－2x）x，

即y＝－8x²＋160x，

改寫為y＝－8（x－10）²＋800，∴當x＝10時，y_最大＝800．

（2）在如圖的一種裁剪圖中，設剪掉的正方形的邊長為x cm，

2（40－2x）（20－x）＋2x（20－x）＋2x（40－2x）＝550，

解得x₁＝－35（不合題意，舍去），x₂＝15．

∴剪掉的正方形的邊長為15 cm．

答：（1）剪掉的正方形的邊長為9 cm；

（2）當剪掉的正方形的邊長為10 cm時，長方體盒子的側面積最大為800 cm²．

（3）此時長方體盒子的長為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm．

【難度】較難