Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+b（k≠0）與拋物線y＝ax2﹣4ax+3a的對(duì)稱軸交于點(diǎn)A（m，﹣1），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及a的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．記直線y＝kx+b（k≠0）與拋物線圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）為W．

①當(dāng)k＝1時(shí)，直接寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有3個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）①2；②或.

【解析】

（1）拋物線變形為頂點(diǎn)式求出對(duì)稱軸x=2與頂點(diǎn)坐標(biāo)（2,1），代入即可求a；（2）如圖所示，①當(dāng)時(shí)，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；②，當(dāng)直線過(guò)，或過(guò)整點(diǎn)，，分別求出其b值，再求出其取值范圍；當(dāng)，由對(duì)稱性可得b的取值范圍.

∴的取值范圍是：或．

解：（1）變形得：.

∴對(duì)稱軸為．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為可得拋物線頂點(diǎn)為

把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得：．

（2）①當(dāng)時(shí)，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．

②若，

當(dāng)直線過(guò)，時(shí)，．

當(dāng)直線過(guò)，時(shí)，．

∴．

若，

由對(duì)稱性可得： ．

∴的取值范圍是：或．