【題目】(本題12分)如圖甲,在平面直角坐標系中,直線y=x+8分別交x軸、y軸于點A、B,⊙O的半徑為2個單位長度.點P為直線y=x+8上的動點,過點P作⊙O的切線PC、PD,切點分別為C、D,且PC⊥PD.
(1)試說明四邊形OCPD的形狀(要有證明過程);
(2)求點P的坐標;
(3)如圖乙,若直線y=x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1:3,請直接寫出b的值
(4)向右移動⊙O(圓心O始終保持在x軸上),試求出當⊙O與直線y=x+8有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍。
【答案】(1)四邊形OCPD為正方形;
(2)求點P的坐標為(2,6)或(6,2);
(3)b的值為;
(4)m的取值范圍為.(直接寫出答案)
【解析】
試題(1)根據(jù)切線長的性質(zhì)定理可以得出PC=PD,PC⊥OC, PC⊥OD,再由PC⊥PD可以的證.
(2)設出直線y=x+8的點P(m,-m+8),根據(jù)切線長的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),有勾股定理的出m的值.
(3)分兩種情形,直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長之比為1:3,可知被割得的弦所對的圓心角為90°,又直線y=-x+b與坐標軸的夾角為45°,如圖乙可知,分兩種情況,可求得結果.
(4)當圓運動到PO等于半徑且在直線的左面時,則圓和直線有一個交點;當圓運動到直線的右面時與直線相切的點也有一個,從而能知道他們之間的都可以.
試題解析:(1)四邊形OCPD是正方形.證明過程如下:
如圖甲,連接OC、OD.
∵PC、PD是⊙O的兩條切線,
∴∠PCO=∠PDO=90°.
又∵PC⊥PD,
∴四邊形OCPD是矩形.
又∵OC=OD,
∴四邊形OCPD是正方形;
(2)如圖甲,過P作x軸的垂線,垂足為F,連接OP.
∵PC、PD是⊙O的兩條切線,∠CPD=90°,
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,
∵∠PDO=90°,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD=2,OP=2
∵P在直線y=-x+8上,設P(m,-m+8),則OF=m,PF=-m+8,
∵∠PFO=90°,OF2+PF2=PO2,
∴m2+(-m+8)2=(2)2,
解得m=2或6,
∴P的坐標為(2,6)或(6,2);
(3)分兩種情形,直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長之比為1:3,可知被割得的弦所對的圓心角為90°,又直線y=-x+b與坐標軸的夾角為45°,如圖乙可知,分兩種情況,所以,b的值為2或-2.
故答案是:2或-2.
(4)8-2≤m≤8+2
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a<0)的圖象過點(1,0)和(x1,0),且﹣2<x1<1,下列5個判斷中:①b<0;②b﹣a<0;③a>b﹣1;④a<﹣;⑤2a<b+,正確的是( )
A. ①③ B. ①②③ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤
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【題目】如圖,學習了勾股定理后,數(shù)學活動興趣小組的小娟和小燕對離教室不遠的一個直角三角形花臺斜邊上的高進行了探究:兩人在直角邊上距直角頂點米遠的點處同時開始測量,點為終點.小娟沿的路徑測得所經(jīng)過的路程是米,小燕沿的路徑測得所經(jīng)過的路程也是米,這時小娟說我能求出這個直角三角形的花臺斜邊上的高了,小燕說我也知道怎么求出這個直角三角形的花臺斜邊上的高了.親愛的同學們你能求出這個直角三角形的花臺斜邊上的高嗎?若能,請你求出來:若不能,請說明理由?
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【題目】如圖,大拇指與小指盡量張開時,兩指尖的距離稱為指距,某項研究表明,一般情況下人的身高h是指距d的一次函數(shù),下表是測得指距與身高的一組數(shù)據(jù):
(1)求出h與d之間的函數(shù)關系式;
(2)某人身高為196cm,一般情況下他的指距應是多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC的度數(shù)為( )
A.120°B.108°C.110°D.102°
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【題目】如圖,P是等邊△ABC的AB邊上一點,過P作PE⊥AC于E,在BC的延長線上截取CQ=AP,連接PQ交AC于點D.
(1)若∠Q=28°,求∠EPD的度數(shù);
(2)求證:PD=QD.
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【題目】在2016CCTV英語風采大賽中,婁底市參賽選手表現(xiàn)突出,成績均不低于60分.為了更好地了解婁底賽區(qū)的成績分布情況,隨機抽取利了其中200名學生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進行了整理,得到如圖的兩幅不完整的統(tǒng)計圖表:
根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)在表中的頻數(shù)分布表中,m= ,n= .
成績 | 頻數(shù) | 頻率 |
60≤x<70 | 60 | 0.30 |
70≤x<80 | m | 0.40 |
80≤x<90 | 40 | n |
90≤x≤100 | 20 | 0.10 |
(2)請補全圖中的頻數(shù)分布直方圖.
(3)按規(guī)定,成績在80分以上(包括80分)的選手進入決賽.若婁底市共有4000人參數(shù),請估計約有多少人進入決賽?
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【題目】如圖,△ACB與△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,點D為AB邊上的一點,
(1)求證:△ACE≌△BCD;
(2)若DE=13,BD=12,求線段AB的長.
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【題目】如圖,是規(guī)格為8×8的正方形網(wǎng)格,請在所給網(wǎng)格中按下列要求操作:
(1)在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系,使A點坐標為(-2,4),B點坐標為(-4,2);
(2)在(1)的前提下,在第二象限內(nèi)的格點上找一點C,使點C與線段AB組成一個以AB為底的等腰三角形,且腰長是無理數(shù),則C點的坐標是;
(3)求((2)中△ABC的周長(結果保留根號);
(4)畫出((2)中△ABC關于y軸對稱的△A'B'C'.
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