Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為__________．

Answer 1

2或2或2．

【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．

【專題】壓軸題；分類討論．

【分析】利用分類討論，當∠APB=90°時，易得∠PAB=30°，利用銳角三角函數(shù)得AP的長；當∠ABP=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖2易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論．

【解答】解：當∠APB=90°時（如圖1），

∵AO=BO，

∴PO=BO，

∵∠AOC=60°，

∴∠BOP=60°，

∴△BOP為等邊三角形，

∵AB=BC=4，

∴AP=AB•sin60°=4×=2；

當∠ABP=90°時（如圖2），

∵∠AOC=∠BOP=60°，

∴∠BPO=30°，

∴BP===2，

在直角三角形ABP中，

AP==2，

情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO，

∵∠AOC=60°，

∴△AOP為等邊三角形，

∴AP=AO=2，

故答案為：2或2或2．

【點評】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．