Question

【題目】（探索發(fā)現(xiàn)）

如圖，是等邊三角形，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接.小明在探索這個(gè)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形.

小明是這樣想的：

（1）請(qǐng)參考小明的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；

（2）直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：______________；

（理解運(yùn)用）

如圖，在中，于點(diǎn).將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)與，交于點(diǎn).

（3）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；

（拓展遷移）

（4）在（3）的前提下，如圖，將沿折疊得到，連接，若，，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）四邊形是正方形；（4）

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：△ACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE，則四邊形ABCE是菱形；

（2）先證明C、F、E在同一直線上，再證明△BAD≌△CAF（SAS），則∠ADB=∠AFC，BD=CF，可得AC=CF+CD；

（3）先根據(jù)∠ADC=∠DAF=∠F=90°，證明得四邊形ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；

（4）證明△BAM≌△EAD（SAS），根據(jù)BM=DE及勾股定理可得結(jié)論．

（1）證明：∵是等邊三角形，

∴.

∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，.

∴是等邊三角形.

∴.

∴.

∴四邊形是菱形.

（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：.

（3）四邊形是正方形.理由如下：

∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，.

∵，

∴.

∴四邊形是矩形.

∵，

∴四邊形是正方形.

（4）如圖，連接.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，，∴.

∵將沿折疊得到，

∴，.

∴.

∴，即.

∵，

∴.

在和中，，

∴.

∴.