Question

【題目】二次函數(shù)y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)C（0，n）作直線l⊥y軸． ①當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求n與m的函數(shù)關(guān)系；
②若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．當(dāng)n=7時(shí)，直線l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求此時(shí)m的值；
（3）若對(duì)于每一個(gè)給定的x的值，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都不小于1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5=（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，

∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1

（2）解：①如圖，由題意知直線l的解析式為y=n，

∵直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴n=﹣2m+3．

②依題可知：當(dāng)﹣2m+3=﹣7時(shí)，直線l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)．

∴m=5

（3）解：拋物線y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2m+3）．

依題可得 解得

∴m的取值范圍是﹣2＜m≤1

【解析】（1）將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式即可得；（2）①畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，由圖象知直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)式時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此可得；②畫(huà)出翻折后函數(shù)圖象，由直線l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)可得﹣2m+3=﹣7，解之可得；（3）由開(kāi)口向上及函數(shù)值都不小于1可得 ，解之即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)圖象的平移的相關(guān)知識(shí)，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減，以及對(duì)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的理解，了解一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．