Question

問題提出：求邊長(zhǎng)分別為，，（a為正整數(shù)）三角形的面積．

  問題探究：為解決上述數(shù)學(xué)問題，我們采取數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，并采取一般問題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．

  探究一：當(dāng)a=1時(shí)，求邊長(zhǎng)分別為、、三角形的面積．

  先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出邊長(zhǎng)分別為，，的格點(diǎn)三角形△ABC（如圖①）．

  因?yàn)锳B是直角邊分別為2和1的Rt△ABE的斜邊，所以AB=；

  因?yàn)锽C是直角邊分別為1和3的Rt△BCF的斜邊，所以BC=；

  因?yàn)锳C是直角邊分別為3和2的Rt△ACG的斜邊，所以AC=；通過面積轉(zhuǎn)化，可間接求三角形△ABC的面積．

  所以，S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG．

（1）直接寫出圖①中S_△ABC=__________．

  探究二：當(dāng)a=2時(shí)，求邊長(zhǎng)分別為2，，5三角形的面積．

  先畫一個(gè)長(zhǎng)方形網(wǎng)格（每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1），再在網(wǎng)格中畫出邊長(zhǎng)分別為2，，5的格點(diǎn)三角形△ABC（如圖②）．

  因?yàn)锳B是直角邊分別為2和2的Rt△ABE的斜邊，所以AB=2；

  因?yàn)锽C是直角邊分別為1和6的Rt△BCF的斜邊，所以BC=；

  因?yàn)锳C是直角邊分別為3和4的Rt△ACG的斜邊，所以AC=5，通過面積轉(zhuǎn)化，可間接求三角形△ABC的面積．

  所以，S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG

（2）直接寫出圖②中S_△ABC=__________．

  探究三：當(dāng)a=3時(shí)，求邊長(zhǎng)分別為，，3三角形的面積．

  仿照上述方法解答下列問題：

（3）畫的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)應(yīng)是__________．

（4）邊長(zhǎng)分別為，，3的三角形的面積為__________．

問題解決：求邊長(zhǎng)分別為，，（a為正整數(shù)）三角形的面積．

（5）類比上述方法畫長(zhǎng)方形網(wǎng)格，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)應(yīng)是__________．

（6）邊長(zhǎng)分別為，，（a為正整數(shù)）的三角形的面積是__________．

Answer 1

【考點(diǎn)】勾股定理．

【分析】（1）根據(jù)圖中正方形的邊長(zhǎng)為1，再利用S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)圖中正方形的邊長(zhǎng)為1，再利用S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)（1）（2）中正方形的邊長(zhǎng)規(guī)律可得出結(jié)論；

（4）根據(jù)題意在網(wǎng)格中畫出圖形，同（2）的方法可得出結(jié)論；

（5）根據(jù)（2）（3）中長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)規(guī)律可得出結(jié)論；

（6）根據(jù)（5）中的結(jié)論畫出圖形即可得出三角形的面積．

【解答】解：（1）由圖可知，

S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG

=3×3﹣×2×1﹣×1×3﹣×2×3

=9﹣1﹣﹣3

=．

故答案為：；

（2）由圖可知，

S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG

=3×6﹣×2×2﹣×1×6﹣×4×3

=18﹣2﹣3﹣6

=7．

故答案為7；

（3）由（2）可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)應(yīng)是2．

故答案為：2；

（4）∵=，=，3=，

∴長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為3，畫圖如下：

∴S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG

=3×9﹣×2×3﹣﹣×1×9﹣×3×6

=27﹣3﹣9﹣

=．

故答案為：；

（5）由（1）、（2）、（4）可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)應(yīng)是a．

故答案為：a；

（6）由（1）、（2）、（4）的規(guī)律可知，

邊長(zhǎng)分別為，，（a為正整數(shù)）的三角形的面積為：

S_△ABC=S_{正方形EFCG}﹣S_△ABE﹣S_△BCF﹣S_△ACG

=3×3a﹣×2×a﹣×1×3a﹣×3×2a

=9a﹣a﹣a﹣3a

=a．

故答案為：a．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意找出規(guī)律，求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)與a的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．