已知,如圖,延長△ABC的各邊,使得BF=AC,AE=CD=AB,順次連接D,E,F(xiàn),得到△DEF為等邊三角形.求證:

(1)△AEF≌△CDE;

(2)△ABC為等邊三角形.


【考點】全等三角形的判定;等邊三角形的判定.

【專題】證明題;壓軸題.

【分析】(1)關(guān)鍵是證出CE=AF,可由AE=AB,AC=BF,兩兩相加可得.再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE.

(2)有(1)中的全等關(guān)系,可得出∠AFE=∠CED,再結(jié)合△DEF是等邊三角形,可知∠DEF=60°,從而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而△ABC是等邊三角形.

【解答】證明:(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)

∴FA=EC(等量加等量和相等).

∵△DEF是等邊三角形(已知),

∴EF=DE(等邊三角形的性質(zhì)).

又∵AE=CD(已知),

∴△AEF≌△CDE(SSS).

(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(對應角相等),

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代換),

△DEF是等邊三角形(已知),

∴∠DEF=60°(等邊三角形的性質(zhì)),

∴∠BCA=60°(等量代換),

由△AEF≌△CDE,得∠EFA=∠DEC,

∵∠DEC+∠FEC=60°,

∴∠EFA+∠FEC=60°,

又∠BAC是△AEF的外角,

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°,

∴△ABC中,AB=BC(等角對等邊).

∴△ABC是等邊三角形(等邊三角形的判定).

【點評】本題利用了等量加等量和相等,全等三角形的判定和性質(zhì),還有三角形的外角等不相鄰的兩個內(nèi)角之和,等邊三角形的判定(三個角都是60°,那么就是等邊三角形).


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