Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點（OA＜OB），與y軸交于點C．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒（0＜t＜2）．

①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時，的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E，P的坐標；

②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1時，有最小值1，此時OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．

【解析】

試題（1）在拋物線的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到結(jié)果；

（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得結(jié)果；

②存在，求得拋物線的對稱方程為x=3，設(shè)F（3，m），當△EFP為直角三角形時，①當∠EPF=90°時，②當∠EFP=90°時，③當∠PEF=90°時，根據(jù)勾股定理列方程即可求得結(jié)果．

試題解析：（1）在拋物線的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在拋物線的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；

（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，

∴===，∵0＜t＜2，始終為正數(shù)，且t=1時，有最大值1，∴t=1時，有最小值1，即t=1時，有最小值1，此時OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，∵拋物線的對稱軸方程為x=3，設(shè)F（3，m），∴，=，=，

當△EFP為直角三角形時，

①當∠EPF=90°時，，即，解得：m=2，

②當∠EFP=90°時，，即，解得；m=0或m=1，不合題意舍去，∴當∠EFP=90°時，這種情況不存在，

③當∠PEF=90°時，，即，解得：m=7，

綜上所述，F（3，2），（3，7）．