Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B；點P是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2上一動點，且點P在x軸下方，過點P作x軸的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D，過點D作PD的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D′（不與點D重合），連接PD′，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m：

（1）①直接寫出a的值；

②直接寫出拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2的函數(shù)表達(dá)式的一般式；

（2）當(dāng)拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點時，設(shè)△PDD′與△OAB重疊部分圖形周長為L：

①求的值；

②直接寫出L與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)h為何值時，存在點P，使以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形？直接寫出h的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②y＝﹣2x；

（2）①1；

②L＝；

（3）h＝±．

【解析】

（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中計算即可；②y＝﹣2x；

（2）將（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系數(shù)法求OB、AB的解析式，由點P的橫坐標(biāo)為m，即可表示出相應(yīng)線段求解；

（3）以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形，DD′＝OA，可知點D的縱坐標(biāo)為2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．

解：（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，

得：0＝a（0﹣2）2﹣2，

解得：a＝；

②y＝﹣2x；．

（2）∵拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點，a＝；

∴y＝x2，

∴A（4，0），B（2，﹣2），

易得：直線OB解析式為：y＝﹣x，直線AB解析式為：y＝x﹣4

如圖1，

，

①

②如圖1，當(dāng)0＜m≤2時，L＝OE+EF+OF＝，

當(dāng)2＜m＜4時，如圖2，設(shè)PD′交x軸于G，交AB于H，PD交x軸于E，交AB于F，

則，

，

∵DD′∥EG

，即：EGPD＝PEDD′，得：EG（2m）＝（2m﹣m2）2m

∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m

∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG

；

（3）如圖3，

∵OADD′為菱形

∴AD＝AO＝DD′＝4，

∴PD＝2，