Question

（1）觀察發(fā)現

如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為 ．

（2）實踐運用

如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸

如圖（4）：點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使△PMN的周長最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）作圖見解析.

【解析】

試題分析：（1）觀察發(fā)現：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據等邊三角形的性質得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據含30度的直角三角形三邊的關系得CE=；

（2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB，根據垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；由于的度數為60°，點B是的中點得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；

（3）拓展延伸：分別作出點P關于AB和BC的對稱點E和F，然后連結EF，EF交AB于M、交BC于N．

試題解析：（1）觀察發(fā)現

如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，

∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點

∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，

∴CE=BE=；

（2）實踐運用

如圖（3），過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB，

∵BE⊥CD，

∴CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，

∵的度數為60°，點B是的中點，

∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，

∴∠EOC=30°，

∴∠AOE=60°+30°=90°，

∵OA=OE=1，

∴AE=OA=，

∵AE的長就是BP+AP的最小值．

故答案為；

（3）拓展延伸:如圖（4）．

考點：1.圓的綜合題；2.軸對稱-最短路線問題．