Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標為（1，0），OC=3OB．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OC=3OB，B（1，0），

∴C（0，﹣3）．

把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，

∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3

（2）

解：由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，

如圖1，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．

設M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），

DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+ ）2+ ，

∴﹣1＜0，

∴當x=- 時，DM有最大值 ，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×4×3+ ×3×DM，此時四邊形ABCD面積有最大值為6+ × =

（3）

解：存在．

討論：①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，

此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3

∴x1=0，x2=﹣2．

∴P1（﹣2，﹣3）．

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣3），

∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0

解得x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ，

此時存在點P2（﹣1+ ，3），P3（﹣1﹣ ，3），

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是：

P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+ ，3），P3（﹣1﹣ ，3）．

【解析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標（0，﹣3），把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，求出a點坐標即可求出函數(shù)解析式；（2）圖，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．設M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表達式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD ， 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；（3）①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1 ， 過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1 ， 此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形．