Question

如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC上取一點D，在邊AC上取一點E，使AE=AD，連接DE，在∠ABD的內部作∠ABF=2∠EDC，交AD于點F．

（1）求證：△ABF是等腰三角形；

（2）如圖2，BF的延長交AC于點G．若∠DAC=∠CBG，延長AC至點M，使GM=AB，連接BM，點N是BG的中點，連接AN，試判斷線段AN、BM之間的數量關系，并證明你的結論．

　

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．

【分析】（1）先利用等腰三角形ABC，得出∠ABD=∠ACD，再利用三角形外角定理得出∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，再結合∠ABF=2∠EDC，即可求出結論．

（2）延長CA至點H，使AG=AH，連接BH，由三角形中位線定理得出AG=BH，再得出△ABC是等邊三角形，易證△BAH≌△BCM，可得出BH=BM，即可得出結論AG=BM．

【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB=AC，

∴∠ABD=∠ACD，

∵∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，

∵AE=AD，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD=2∠EDC，

∵∠ABF=2∠EDC，

∴∠BAD=∠ABF，

∴△ABF是等腰三角形；

（2）如圖2延長CA至點H，使AG=AH，連接BH，

∵點N是BG的中點，

∴AN=BH，

∵∠BAD=∠ABF（1）中已證明，∠DAC=∠CBG，

∴∠CAB=∠CBA，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，

∠BAC=∠BCA=60°，

∵GM=AB，AB=AC，

∴CM=AG，

∴AH=CM，

在△BAH和△BCM中，

∴△BAH≌△BCM（SAS），

∴BH=BM，

∴AN=BM．

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質及等腰三角形的判定與性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，得出第（2）題中△ABC是等邊三角形．