Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長線于P點(diǎn)，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）連接OA，可得∠AOC=120°，所以，可得∠P=∠C=30°，即可證明；

（2）AC=3，所以，PO=，所以PC=3．

【解答】（1）證明：連接AO，則AO⊥PA，∠AOC=2∠B=120°，

∴∠AOP=60°，

∴∠P=30°，

又∵OA=OC，

∴∠ACP=30°，

∴∠P=∠ACP，

∴AP=AC．

（2）解：在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=3，

∴AO=，

∴PO=2；

∵CO=OA=，

∴PC=PO+OC=3．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形、圓周角及切線的性質(zhì)定理，綜合性比較強(qiáng)，熟記定理及性質(zhì)，才是解答的關(guān)鍵．