Question

【題目】如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線(xiàn)AB折疊得到△ABD，交⊙O于點(diǎn)D．連接CD交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD和CA相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AG∥CD交BP于點(diǎn)G．

（1）求證：直線(xiàn)GA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求證：AC2＝GDBD；

（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）欲證明直線(xiàn)GA是⊙O的切線(xiàn)，只需推知OA⊥GA即可；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：AC＝AD．通過(guò)相似三角形△BAD∽△AGD的對(duì)應(yīng)邊成比例得到：．所以AC2＝AD2＝GDBD．

（3）cos∠P＝，所以需要求得線(xiàn)段PD、PA的長(zhǎng)度；利用（2）中的AD2＝GDBD和銳角三角函數(shù)的定義求得BD＝2GD；根據(jù)△PAG∽△PBA是對(duì)應(yīng)邊成比例得到：PA2＝PGPB，即PA2＝6（6+3GD）；結(jié)合勾股定理知PA2＝AD2+PD2．所以6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．利用方程思想求得答案．

（1）證明：∵將△ABC沿直線(xiàn)AB折疊得到△ABD，

∴BC＝BD．

∴點(diǎn)B在CD的垂直平分線(xiàn)上．

同理得：點(diǎn)A在CD的垂直平分線(xiàn)上．

∴AB⊥CD即OA⊥CD，

∵AG∥CD．

∴OA⊥GA．

∵OA是⊙O的半徑，

∴直線(xiàn)GA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°．

∴∠ABD+∠BAD＝90°．

∵∠GAB＝90°，

∴∠GAD+∠BAD＝90°．

∴∠ABD＝∠GAD．

∵∠ADB＝∠ADG＝90°，

∴△BAD∽△AGD．

∴．

∴AD2＝GDBD．

∵AC＝AD，

∴AC2＝GDBD；

（3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°，

∴．

∴．

∵AD2＝GDBD，

∴BD＝2GD．

∵＝，

∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．

∵AG∥CD，

∴∠PAG＝∠PCD．

∴∠PAG＝∠PBA．

∵∠P＝∠P，

∴△PAG∽△PBA．

∴PA2＝PGPB

∵PG＝6，BD＝2GD，

∴PA2＝6（6+3GD）．

∵∠ADP＝90°，

∴PA2＝AD2+PD2．

∴6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．

解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．

∴PD＝8，AP＝6，

∴cos∠P＝．