Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x軸于點A，交y軸于點B，點A₁、A₂、A₃，…在x軸的正半軸上，點B₁、B₂、B₃，…在直線l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均為等邊三角形，則△A₆B₇A₇的周長是192$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線的解析式求出直線l與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即得出OA=$\sqrt{3}$，OB=1，并求出∠OAB=30°，再由等邊三角形和外角定理依次求出∠OB₁A=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=30°，根據(jù)等角對等邊得：A₁A₂=A₁B₂=AA₁=2OA₁=2$\sqrt{3}$，從而發(fā)現(xiàn)了規(guī)律得出等邊△A₆B₇A₇的邊長為64$\sqrt{3}$，從而求得周長．

解答 解：當(dāng)x=0時，y=1，則B（0，1），
當(dāng)y=0時，x=-$\sqrt{3}$，則A（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均為等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=30°，
∴OB₁=OA=$\sqrt{3}$，A₁B₂=AA₁，A₂B₃=AA₂，
則OA₁=OB₁=$\sqrt{3}$，A₁B₂=AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴A₁A₂=A₁B₂=AA₁=2OA₁=2$\sqrt{3}$，
同理：A₂A₃=A₂B₃=2A₁A₂=4$\sqrt{3}$，
A₃A₄=2A₂A₃=8$\sqrt{3}$，
A₄A₅=2A₃A₄=16$\sqrt{3}$，
A₅A₆=2A₄A₅=32$\sqrt{3}$
∴A₆A₇=2A₅A₆=64$\sqrt{3}$，
∴△A₆B₇A₇的周長是：3×64$\sqrt{3}$=192$\sqrt{3}$，
故答案為：192$\sqrt{3}$．

點評 本題既考查了一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，又考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)等邊三角形邊長相等依次求出邊長，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．