Question

【題目】圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí)，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖2．已知鐵環(huán)的半徑為25 cm，設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A，∠MOA=α，且sinα=．

(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM；

(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC=55 cm，求鐵環(huán)鉤MF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）BM=5cm；（2）MF=50cm．

【解析】

（1）過(guò)M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為求HA的長(zhǎng)，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；

（2）因?yàn)椤?/span>MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因?yàn)?/span>sin∠MOA=，所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系，即FN=FM，再根據(jù)MN=HN-HM，利用勾股定理即可求出FM的長(zhǎng)．

過(guò)M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N，

（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，

HM=OM×sinα=15，

所以OH=20，

MB=HA=25-20=5，

所以點(diǎn)M距地面的高度BM為5cm；

（2）∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切，

∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，

∴=sin∠MOA=，

∴FN=FM，

在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40，

∵FM2=FN2+MN2，

即FM2=（FM）2+402，

解得：FM=50，

∴鐵環(huán)鉤的長(zhǎng)度FM為50cm．