Question

【題目】已知：如圖①，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，且BD=BE，連接DE．

（1）求證：DE∥AC；

（2）將圖①中的△BDE繞點B順時針旋轉，使得點A、D、E在同一條直線上，如圖②，求∠AEC的度數;

（3）在（2）的條件下，如圖③，連接CD，過點D作DM⊥BE于點M，在線段BM上取點N，使得∠DNE+∠DCE=180°．請?zhí)剿魅龡l線段EN，MN，EC之間的關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)60°;(3)見解析.

【解析】

（1）由△ABC是等邊三角形得∠B=60°，再由BD=BE，得△BDE是等邊三角形，所以∠BED=∠C=60°，可得DE∥AC；

（2）由旋轉，易證△BAD≌△BCE，所以∠BEC=∠BDA=180°-∠BDE=120°，所以∠AEC=∠BEC-∠BED=60°.

（3）在四邊形CDNE中， 由（2）中∠NEC=120°易得∠NDC=60°，然后利用角邊角證明△BDN≌△EDC，得出BN=EC，然后在BE邊上利用線段關系可推出關系式.

證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，

又∵BD=BE，∴△BDE為等邊三角形，∴∠BEC=60°，

∴∠BEC=∠C，∴DE∥AC.

（2）∵∠ABD+∠DBC=60°，∠CBE+∠DBC=60°

∴∠ABD=∠CBE

在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

∴∠BEC=∠BDA，

又∵A、D、E在一條直線，

∴∠BDA+∠BDE=180°，

又∵∠BDE=60°，∴∠BDA=∠BEC=120°，

∴∠AEC=∠BEC-∠BED=120°-60°=60°

（3）在四邊形CDNE中，∵∠DNE+∠DCE=180°

∴∠NDC+∠NEC=180°，

由（2）可知∠NEC=120°，∴∠NDC=60°

∴∠CDE+∠NDE=60°，

∵∠BDN+∠NDE=60°，

∴∠BDN=∠CDE

在△BDN和△EDC中，

∴△BDN≌△EDC（ASA）

∴BN=EC

在等邊△BDE中，DM⊥BE，

∴BM=ME

∴EN=MN+ME=MN+BM=MN+BN+MN=2MN+EC

故EN，MN，EC之間的關系的關系是EN=2MN+EC.