Question

【題目】知識(shí)鏈接：將兩個(gè)含角的全等三角尺放在一起， 讓兩個(gè)角合在一起成，經(jīng)過拼湊、觀察、思考，探究出結(jié)論“直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”．如圖，等邊三角形的邊長為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從出發(fā)沿的延長線向右運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)都以每秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中與相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

請直接寫出長． (用的代數(shù)式表示)

當(dāng)為直角三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒? ．

求證：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)始終為線段的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）AD=4-0.5x；（2）秒；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得到CD=0.5x，結(jié)合圖形求出AD；
（2）設(shè)x秒時(shí)，△ADE為直角三角形，則BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，根據(jù)30°的直角邊等于斜邊的一般建立方程求出其解即可；
（3）作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，證明△DGP≌△EBP，得出PD=PE即可．

解：（1）由題意得，CD=0.5x，
則AD=4-0.5x；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
設(shè)x秒時(shí)，△ADE為直角三角形，
∴∠ADE=90°，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=2（4-0.5x），
∴x=；
答：運(yùn)動(dòng)秒后，△ADE為直角三角形；
（3）如圖2，作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，

∴∠GDP=∠BEP，∠DGP=∠EBP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，
∴∠C=∠CDG=∠CGD，
∴△CDG是等邊三角形，
∴DG=DC，
∵DC=BE，
∴DG=BE．
在△DGP和△EBP中，

，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP=PE，
∴在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P始終為線段DE的中點(diǎn)．