Question

【題目】已知如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取AB邊上的中點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，連接DF．過點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H，交CE于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則MN=_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

如圖，延長(zhǎng)DF交AB于P．首先證明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AN，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再證明∠NCM=∠NMC即可解決問題；

解：如圖，延長(zhǎng)DF交AB于P．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，

∵AN⊥DP， ∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，

∴∠APD=∠ANB，

∴△ADP≌△BAN， ∴AN=DP， BN=AP，

∵BF⊥EC， ∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，

∴∠EBF=∠BCE，

∴tan∠EBF=tan∠BCE= ，

∵AB=BC，BE=AE，

∴tan∠EBF=tan∠BCE=，

設(shè)EF=a，則BF=2a，CF=4a，

∵PE∥DC，

∴

∵CD=4， ∴PE=1，

∵BE=2， ∴PE=PB=1，

∴PF=BE=1，AP=3，

在Rt△ADP中，DP=

∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，

∴BC=DF， ∴∠DFC=∠DCF，

∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，

∴∠NCM=∠NMC，

∴MN=CN=1．

故答案為1．